Como funciona a algebra booleana

Somadores simples

Nesta seção, você verá como podemos criar um circuito capaz de executar a adição binária com o uso das portas descritas na seção anterior.

Comecemos com um somador de um único bit. Digamos que, em um dado projeto, seja necessária a adição de bits para que se obtenha uma resposta. Começamos a projetar o circuito verificando todas as combinações lógicas. Podemos fazer isso a partir das quatro seguintes somas:

0	0	1	1
+ 0	+ 1	+ 0	+ 1
0	1	1	10

Tudo vai bem, até que aparece 1 + 1. Nesse caso, você terá de se preocupar com aquele carry bit (bit de transporte) irritante. Se não se importar em transportá-lo (pois, afinal, trata-se de um problema de adição de 1 bit), você poderá resolver esse problema com uma porta XOR. Do contrário, talvez possa reescrever as equações de modo que sempre sejam incluídos 2 bits de saída, assim:

0	0	1	1
+ 0	+ 1	+ 0	+ 1
00	01	01	10

A partir dessas equações, podemos formar a tabela lógica:

Somador de 1 bit com Carry-Out

A B Q CO 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1

Observando a tabela, vemos que é possível de se implementar Q com a porta XOR e CO (carry-out) com a porta AND. Simples.

E se quisermos somar dois bytes de 8 bits? Aí fica um pouco mais complicado. A solução mais simples é modularizar o problema em componentes reutilizáveis e replicar os componentes. Nesse caso, é necessária a criação de apenas um componente: um somador binário completo.

A diferença entre um somador completo e o somador que vimos anteriormente é que o somador completo aceita uma entrada A e uma B junto com uma entrada carry-in (CI - "vem um"). Com um somador completo, poderemos enfileirar oito deles para criar um somadorda largura de um byte e deixar transitar o bit de transporte, em cascata, de um somador para o próximo.

A tabela lógica para um somador completo é um pouco mais complicada do que as tabelas que usamos antes, porque agora temos 3 bits de entrada. Fica assim:

Somador Completo de 1 bit com Carry-In e Carry-Out

CI A B Q CO 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1

Há muitas maneiras de se implementar essa tabela. Vamos apresentar um método de fácil compreensão. Verificando o bit Q, vemos que os 4 bits superiores comportam-se como uma porta XOR com relação a A e B, enquanto os 4 bits inferiores comportam-se como uma porta XNOR com relação a A e B. Da mesma maneira, os 4 bits superiores de CO comportam-se como uma porta AND com relação a A e B, e os 4 bits inferiores comportam-se como uma porta OR. Levando em consideração os fatos, o seguinte circuito implementa um somador completo:

Definitivamente, esse não é o método mais eficiente para se implementar um somador completo, mas é de fácil compreensão e bastante lógico. Se for do seu interesse, veja o que se pode fazer para implementar a mesma lógica com menos portas.

Agora, temos uma peça funcional chamada "somador completo". Um engenheiro de computação, então, desenvolve uma "caixa preta", para que os dados fiquem registrados e ele possa deixar de se preocupar com os detalhes do componente. Uma caixa preta para um somador completo seria assim:

Com a caixa preta, é fácil desenvolver um somador completo de 4 bits:

Neste diagrama, o carry-out de cada bit alimenta diretamente o carry-in do próximo bit. Um 0 é conectado ao primeiro bit do tipo carry-in. Se inserirmos dois números de 4 bits nas linhas A e B, a soma de 4 bits aparecerá nas linhas Q com um 1 bit adicional para o último bit do tipo carry-out. Esse encadeamento pode se estender tanto quanto desejável, usando 8, 16 ou 32 bits.

O somador de 4 bits que acabou de ser criado é chamado de somador com propagação do carry (ripple-carry adder). Ele tem esse nome porque os bits de transporte "propagam" de um somador até o próximo. Essa execução é vantajosa por sua simplicidade, mas inconveniente pelos problemas de velocidade. Em um circuito real, as portas levam tempo para mudarem de estado (uma questão de nanossegundos, mas, em computadores de alta velocidade, nanossegundos são significativos). Assim, somadores com propagação do carry de 32 ou 64 bits devem levar de 100 a 200 nanossegundos para terminar sua soma final por causa da propagação do carry . Por esse motivo, os engenheiros criaram somadores mais avançados chamados somadores com carry antecipado (carry-lookahead adders). O número de portas necessárias para implementar o somador com carry antecipado é grande, mas seu tempo para terminar a soma é muito menor.